Основные свойства тригонометрических функций

6. Основные свойства тригонометрических функций

6.1. Знаки тригонометрических функций

Из определения тригонометрических функций следует, что их знаки в четвертях будут следующими:

ПРИМЕР 6.1. Определите знак произведения
А = sin 100° cos 200° tg . 20° ctg 145° tg 3 ctg 2.
РЕШЕНИЕ.
100° — I четверть, ордината положительна; 200° — III четверть, абсцисса отрицательна; 120° — II четверть, ордината линии тангенсов отрицательна; 145° — II четверть, абсцисса линии котангенсов отрицательна; 3 рад — II четверть, отрицательный; 2 рад — II четверть, отрицательный.
Знак А = (+)(–)(–)(–)(–) (–) = (–). Знак произведения отрицательный.

ПРИМЕР 6.2. Определите знак разности:
a) sin 350° – sin 345° ; б) cos 3,1 – cos 2,9.
а) значения 350° и 345° находятся в IV четверти, а там большему значению угла соответствует большее значение синуса, те sin 350° > sin 345° => sin 350° – sin 345° > 0;
б) углы находятся во II четверти, большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса, т.е. cos 3,1 < cos 2,9 => cos3,1 – cos 2,9 < 0.

6.2. Четные и нечетные функции

Определение 6.1. Функция f называется четной, если для любого х из области определения f значение (–х) также входит в область определения и выполняется равенство f(–х) = f(х).
Определение 6.2. Функция f называется нечетной, если для любого х из области определения и (–х) входит в область определения, причем выполняется равенство f(–х) = –f(х).

Теорема 6.1. Косинус — четная функция, а синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.
Доказательство. Вместе с любым a существует по определению и угол (-a). А значит, существуют и синусы, и косинусы этих углов.

Р_a и Р_-a симметричны относительно оси абсцисс (рис.11). Это означает, по определению синуса и косинуса, что при любом a абcциссы углов совпадают, а ординаты противоположны, т.е. cosa = cos(-a), sin(-a) = -sina. Тогда

что и требовалось доказать.

6.3. Периодичность тригонометрических функций

Определение 6.3. Функция f называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что при любом х из области определения f число (х + Т) также принадлежит этой области и при этом выполняется равенство f(x) = f(x+T).
Число Т называется периодом функции f.
Определение 6.4. Основным периодом называется наименьший из множества всех положительных периодов функции.
Теорема 6.4. Функции синус, косинус, тангенс, котангенс являются периодическими.
Теорема 6.5. Основным периодом для функций синуса и косинуса является число Т₀ = 2p.
Теорема 6.6. Основным периодом для тангенса и котангенса является число p.
Теорема 6.7. Основной период функции у = sinnx равен 2p/n