Тригонометрические функции любого угла

5. Тригонометрические функции любого угла


Можно построить всю тригонометрию, пользуясь только тригонометрическими функциями остpых углов. Однако решение многих задач принимает единообразную форму, если распространить понятие синуса, косинуса и т.д. на углы любой величины, положительные и отрицательные.
Определение 5.1. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной окружностью.
Определение 5.2. Диаметр единичной окружности, лежащий на оси у, назовем вертикальным, а на оси х — горизонтальным.
Пусть точка Рa(хa,уa) единичной окружности получена из точки P0(1, 0) поворотом на угол в a радиан (рис.6).
Определение 5.3. Ордината точки Рa(хa, уa) - это синус угла a, т.е. sina = ya/1 = уa. Ордината лежит на вертикальном диаметре - линии синусов.
Определение 5.4. Абсцисса точки Рa(хa,уa)- это косинус угла a, т.е. cosa = xa/1 = хa. Абсцисса лежит на горизонтальном диаметре - линии косинусов.
Если точка Рb(хb,уb) находится во II четверти (рис.7), то sinb - положительная величина, cosb - отрицательная величина.
Аналогично для других четвертей, углов, больших 360°, и отрицательных углов.
Сопоставляя каждому числу х его синус и косинус, получим две функции: х ® у = sin х и х ® у = cos х, определенные на всей числовой прямой. Значит, D(sin x) = R, D(cos x) = R. Так как абсциссы и ординаты точек единичной окружности принимают значении от -1 до +1, то области значений этих функций равны [-1, l]. T.e. E(sin x) = [-1, 1], E(cos x) = [-1,1]. Поскольку координаты любой точки единичной окружности удовлетворяют уравнению х2 + у2 = 1, то для любого х

sin2х + cos2x = 1.


Определение 5.5. Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки Рa(хa, уa) к ее абсциссе, т.е.
Определение 5.6. Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки Рa(хa, уa) к ее opдинаme, т.е.
Функция тангенс обозначается у = tga. Из определения тангенса следует, что tga = уa/хa, неопределен, когда хa = 0. Найдем углы у которых хa = 0.
Вспомним наглядное представление о тангенсе (рис.8). Нарисуем единичную окружность и проведем прямую х = 1. Проведем через точку Рa и начало координат прямую, ее уравнение
Точка пересечения K(1, tga) прямых у = хЧtga и х = 1 имеет ординату, равную tga.
Таким образом, значения тангенсов всех углов лежат на прямой х = 1 (линии тангенсов).
По рисунку (рис.8) видно, что если угол находится в I и III четверти, то тангенс его положительный; если во II и IV, то отрицательный, E(tgx) = R.
Аналогично, прямая у = 1 и прямая у = xЧtga пересекаются в точке абсцисса которой равна котангенсу угла a (рис.9).
Прямую у = 1 называют линией котангенсов. Функция котангенс обозначается у = ctg x.
Область определения и область значений котангенса соответственно равны:
D(ctg x) = {R, х ≠ pk, k Î Z},
E(ctg x) = R.
Перемножив тангенс угла х на его котангенс, получаем:

tgхЧctgх = 1.

Это равенство справедливо для