Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению
прямоугольных треугольников. В прямоугольном треугольнике отношение
двух сторон не зависит от длин, а полностью зависит от величины одного из
углов. Теорема 3.1. Отношение сторон прямоугольного треугольника
зависит только от градусной меры угла.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ABC и А'В'С' - два прямоугольных
треугольника с одним и тем же углом а при вершинах А и А'.
Требуется доказать, что
Отложим на луче АВ отрезок AB1, равный А'В', на луч АС — отрезок
AC1, равный А'С'.
Треугольники АВ1С1 и А'В'С' равны по первому признаку. Поэтому
угол АВ1С1 прямой, Значит, прямые В1С1 и ВС, перпендикулярные прямой
АС, параллельны. По обобщенной теореме Фалеса:
Аналогично
что и требовалось доказать.
Отношения различных пар сторон в прямоугольном треугольнике называются тригонометрическими функциями его острого угла (рис. 4).
1. Синус угла А — это отношение противолежащего катета к
гипотенузе, т.е.
2. Косинус угла А — это отношение прилежащего катета к
гипотенузе, т.е.
3. Тангенс угла А — это отношение противолежащего катета к
прилежащему, т.е.
4. Котангенс угла А — это отношение прилежащего катета к
противолежащему, т.е.
5. Секанс угла А — отношение гипотенузы к прилежащему катету,
т.е.
6. Косеканс угла А — отношение гипотенузы к противолежащему
катету, т.е.
По отношению к углу В названия меняются:
Отсюда можно получить следующие формулы:
Катет прямоугольного треугольника равен:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна:
Или в виде определений: Катет прямоугольного треугольника равен произведению: гипотенузы и синуса противолежащего угла; гипотенузы и косинуса прилежащего угла; другого катета и тангенса противолежащего угла; другого катета и котангенса прилежащего угла. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению: катета и синуса, противолежащего этому катету угла; катета и косинуса, прилежащего этому катету угла (не зависимо от того, какой катет известен).
